A bolygómű analitikai vizsgálata

Egy legyártott közönséges (fogaskerekes) hajtómű kinematikai tulajdonságai egyetlen adattal , az áttétellel jellemezhetők, azaz a kimenő és a bemenő szögsebesség (fordulatszám) arányával, ami természetesen állandó. Értékét a fogaskerekek geometriai méretéből (pl. átmérőjéből) állapíthatjuk meg. Egy legyártott bolygómű kinematikai jellemzéséhez az egyszerű áttétel nem járható út, ugyanis a bolygómű - kinematikailag - kétszabadságfokú mechanizmus: három tengelye forg(hat). Kérdés, melyik kettőnek a szögsebességét állítsuk arányba?

A megoldás az alapáttétel fogalmának a bevezetése: alapáttétel a két központi kerék relatív szögsebessének a hányadosa. Relatív, éspedig a forgattyús tengely szögsebességéhez viszonyítva:

Ezzel a képlettel könnyen nyomon lehet követni a bolygómű sebességviszonyainak az alakulását. A gyakorlatban ennek átrendezett alakját használjuk, amelyben a szögsebességek csak egyszer szerepelnek: Bármelyik két szögsebesség (fordulatszám) ismeretében a harmadik kiszámítható, föltéve, hogy ismerjük a bolygómű alapáttételét. Mivel az alapáttétel bármilyen sebességviszonyok mellett változatlan, legegyszerűbb, ha álló forgattyús tengelyt veszünk alapul, amikor a fogaskerekek átmérőjéből megállapítjuk az alapáttételt. Ugyanis addig, amig áll a forgattyús tengely, a bolygómű nem is bolygómű, hanem egyszerű hajtómű, három fogaskerékkel: Az áttételt - hagyományos módon - az alábbi képlettel számíthatjuk: Mint az ábrán láthatjuk, akármelyik központi kerék lehet külső vagy belső fogazású. A képletbe az átmérőket előjellel kell beírni: külső fogazás esetén pozitív, belső fogazás esetén negatív előjellel.

Sorosan alkalmazott bolygókerekek (irányváltó kerék!) esetén a képlet annyiban különbözik az előzőtől, hogy egyrészt eleve negatív előjelet kap, másrészt több fogaskerék átmérője szerepel benne: Fontos tudni, hogy mindkét képlet alkalmazható olyan esetekre is, amikor a kettős bolygókerekek közül az egyik vagy mindkettő "eltűnik". Ez akkor fordul elő, amikor a kettős kerék mindkét átmérője ugyanakkora, hányadosuk ilyenkor eggyel egyenlő, vagyis a képletből kiesik. Példaképpen vegyünk egy N(PP)(P)N típusú bolygóművet. Itt a másodiknak rajzolt kettős kerékből lett egyszerű kerék ( D₄₁₂ = D₄₁). Ez azt jelenti, hogy a fenti képletből a harmadik hányados kiesik. A maradék átmérőket behelyettesítve, az alapáttételre negatív számot kapunk, lévén mindkét központi kerék belső fogazású. Magától értetődő, hogy P(P)(P)N bolygómű esetén (baloldali ábra) a képletben csak a két központi kerék hányadosa marad (az alapáttétel előjele pozitív).

Analitikai módszerekkel természetesen nem csak a kinematikai viszonyokat lehet vizsgálni, hanem a nyomaték- és a teljesítményviszonyokat is.

Ami a nyomatékokat illeti, már egyetlen nyomaték ismerete is egyértelművé teszi a nyomatékviszonyokat, mivel a bolygómű az erők szempontjából egyszabadságfokú mechanizmus: 

A bolygókerék három minket érdeklő pontja közül bárhol vesszük fel a kerületi erőt, a másik két pontban - a kéttámaszú tartók elvén - az erők nagysága adott lesz, a három erő eredője zérus. Ha az erőket megszorozzuk a hozzájuk tartozó sugárral, nyomatékot kapunk.

A nyomatékokról is tudjuk, hogy eredőjük zérus:

Mivel a nyomatékok aránya sem függ a forgásviszonyoktól, most is vegyük azt az esetet, amikor a forgattyús kar éppen áll. Mint minden fogaskerekes áttétel esetében, itt is igaz, hogy a nyomatékmódosítás a kinematikai áttétel negatív reciprokával egyenlő:

innen  A nyomatékok egyensúlyából következik, hogy A három nyomatékot - a könnyebb kezelhetőség érdekében - aránypárokban is felírhatjuk: A fenti képlet minden tagját megszorozva a hozzá tartozó szögsebességgel, megkapjuk a teljesítményviszonyokat leíró képletet: A teljesítményekről annyit, hogy ha a kiszámított érték pozitív előjelű, akkor az bemenő teljesítmény, negatív előjel esetén kimenő teljesítmény (a bolygóműre vonatkoztatva!).

Példák

Ezek után nézzük meg, hogyan alkalmazzuk a bolygóműveket a bolygóműves sebességváltókba.